为什么杰弗里斯无信息先验可以看出客观先验分布 (为什么杰弗里萨克斯敢说美国)

杰弗里斯无信息先验是一种先验概率分布，它可以根据模型中的参数数量自动产生。它具有几个特点，使其成为许多统计模型的默认选择。

无信息

杰弗里斯无信息先验的第一个特点是它的无信息性。这意味着它不偏向任何特定的参数值。这使得它成为许多统计模型的良好选择，因为我们通常没有关于参数的任何先验知识。

客观

杰弗里斯无信息先验的第二个特点是它的客观性。这意味着它独立于研究者。这使得它成为许多科学研究的良好选择，因为我们希望我们的研究结果不会受到研究者偏见的影响。

推导

杰弗里斯无信息先验可以通过使用信息几何中的信息量概念来推导。信息量可以衡量概率分布的不确定性程度。杰弗里斯无信息先验是可以最大化信息量的分布。

好处

杰弗里斯无信息先验因其无信息性、客观性和合理性而被广泛使用。它可以产生合理的后验分布，并且通常使结果对先验选择不敏感。它易于计算，这使其成为许多统计建模软件包中可用的默认先验。

局限性

虽然杰弗里斯无信息先验通常是一个良好的选择，但也有一些潜在的局限性。它可能在参数空间中产生不适当的先验分布，例如在参数受到限制的情况下。它可能对极端值敏感，这可能导致不合理的结论。

应用

杰弗里斯无信息先验已广泛应用于各种统计建模领域，包括但不限于：

• 贝叶斯统计
• 回归分析
• 时间序列分析
• 机器学习

示例

为了说明杰弗里斯无信息先验的应用，考虑一个简单的硬币抛掷模型。我们对硬币出现正面的概率感兴趣。我们可以使用杰弗里斯无信息先验来对这个概率进行建模。

杰弗里斯无信息先验对于这个模型是均匀分布，这意味着所有概率值都被赋予了相等的权重。这是因为我们没有关于硬币正面出现的先验知识。因此，后验分布将由似然函数决定。

假设我们抛硬币 10 次，其中 6 次正面朝上。似然函数为：

L(p) = (p^6) (1-p)^4

后验分布与似然函数成正比：

posterior(p) ∝ L(p)

解这个方程可以得到后验分布为贝塔分布：

posterior(p) ∼ Beta(7, 5)

这个后验分布表示，硬币正面朝上的概率大概在 0.5 到 0.8 之间。这与我们没有先验知识并抛掷硬币 10 次的结果相一致。

结论

杰弗里斯无信息先验是一个强大的工具，可以用于各种统计建模问题。它具有无信息性、客观性和合理性的特点，使其成为许多研究和应用的良好选择。尽管它有一些潜在的局限性，但它仍然是贝叶斯统计和机器学习中最常用的先验分布之一。